Teorema del virial

28 idiomas

• Artículo
• Discusión

• Leer
• Editar
• Ver historial

Herramientas

Apariencia

 

Texto

• Pequeño

  Estándar

  Grande

Anchura

• Estándar

  Ancho

Color (beta)

• Automático

  Claro

  Oscuro

En mecánica clásica, el teorema del virial es una ecuación general que relaciona la energía cinética total promedio ${\displaystyle ⟨T⟩}$ de un sistema con su energía potencial promedio ${\displaystyle ⟨V⟩}$, donde los paréntesis angulares representan el promedio temporal de la magnitud contenida entre ellos. Matemáticamente, el teorema del virial establece que:

${\displaystyle ⟨T⟩=-\frac{1}{2}\sum _{k=1}^N⟨{\mathbf{F}}_k\cdot {\mathbf{r}}_k⟩}$

Donde F_k representa la fuerza sobre la partícula k-ésima, que está ubicada en la posición r_k.

Aplicaciones

[editar]

El teorema del virial permite calcular la energía cinética total promedio aun para sistemas muy complejos en los que es muy difícil obtener una solución exacta, tales como los relacionados en mecánica estadística; esta energía cinética total promedio se relaciona con la temperatura del sistema a través del teorema de equipartición. Un ejemplo de sus muchas aplicaciones es el uso del teorema del virial para calcular el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de las estrellas enanas blancas. La palabra «virial» tiene su origen en vis, la palabra en Latín para «fuerza» o «energía», y Clausius en 1870 le dio su acepción técnica.¹​

Si la fuerza entre dos partículas cualesquiera del sistema es producida por una energía potencial V(r)=αr ⁿ que es proporcional a alguna potencia n de la distancia entre las partículas r, el teorema del virial adopta la forma:

${\displaystyle 2⟨T⟩=n⟨V⟩}$

En Termodinámica, el teorema del virial nos permite escribir un modelo que se aproxime a un gas real, que se encuentre en la Naturaleza. Para ello, se usa un desarrollo en potencias de 1/v, y se obtiene (en magnitudes molares):

${\displaystyle \frac{pV}{RT}=1+\frac{B(T)}{V}+\frac{C(T)}{V^2}+...}$

Donde B(T), C(T), ..., son el segundo coeficiente del virial, tercer coeficiente del virial respectivamente. A este desarrollo también se le conoce con el nombre de desarrollo de Kammerlingh Onnes. Como ejemplo, el gas de van der Waals puede escribirse usando el desarrollo de Kammerlingh Onnes como (de nuevo, en magnitudes molares):

${\displaystyle \frac{Pv}{RT}=1+\frac{b-\frac{a}{RT}}{v}+{\left(\frac{b}{v}\right)}^2+{\left(\frac{b}{v}\right)}^3+...}$

Por lo tanto, dos veces la energía cinética total ${\displaystyle ⟨T⟩}$ es igual a n veces la energía potencial total promedio ${\displaystyle ⟨V_{TOT}⟩}$. Donde V(r) representa la energía potencial entre dos partículas, V_TOT representa la energía potencial total del sistema, o sea la suma de la energía potencial V(r) sobre todos los pares de partículas en el sistema. Un ejemplo común de este sistema es una estrella que se existe gracias a su propia fuerza de gravedad, donde n es -1.

Aunque el teorema del virial depende de promediar la energía cinética total y la energía potencial total, esta presentación deja para un paso próximo el promediar.

Definiciones del virial y su derivada temporal

[editar]

Para un grupo de ${\displaystyle N}$ partículas puntuales, el momento de inercia escalar I con respecto al origen queda definido por la ecuación

${\displaystyle I=\sum _{k=1}^N{m}_k{\mathbf{r}}_k^2=\sum _{k=1}^N{m}_k{r}_k^2}$

donde m_k y r_k representan la masa y la posición de la partícula k^ésima. El virial escalar G queda definido por la ecuación

${\displaystyle G=\sum _{k=1}^N{\mathbf{p}}_k\cdot {\mathbf{r}}_k}$