MATEMATICAS. EL TORO

 

Toro (geometría)

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Un toro anular con una selección de círculos en su superficie

A medida que disminuye la distancia al eje de revolución, el toroide anular se convierte en un toroide de cuerno, luego en un toroide de huso y, finalmente, degenera en una esfera de doble cubierta.

R > r:
Toro de anillo

R = r:
Toro de cuerno

R < r:
Toro de huso

Mitades inferiores y secciones longitudinales de las tres clases de toro.

Desarrollo de un toro.

Un toroide anular con relación de aspecto 3, la relación entre los diámetros del círculo mayor (magenta) y el menor (rojo).

En geometría, un toro es un tipo concreto de toroide cuya superficie de revolución es generada por una circunferencia que gira alrededor de una recta exterior coplanaria (en su plano y que no la corta)¹​ o, llanamente, la superficie tridimensional que resulta de hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que no la corta. La palabra «toro» proviene del latín torus, que significa «protuberancia», «elevación curva» (relacionado con latín sterno y griego στορέννυμι, romanizado storénnymi) y que ya en latín adquiere sentidos técnicos para designar objetos con esta forma geométrica específica, por ejemplo en arquitectura (Vitr.3.3.8), donde designa el «bocel» o «murecillo», que es una moldura redondeada de la base, con forma de hogaza de pan.²​ Muchos objetos cotidianos tienen forma de toro: una rosquilla, una cámara de neumático, etc.

Geometría

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Representación del toro en el sistema diédrico.

Las ecuaciones paramétricas que lo definen son:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}x=\cos \theta \cdot (R+r\cos \phi )\\ y=\mathrm{sen}\theta \cdot (R+r\cos \phi )\\ z=r\mathrm{sen}\phi \end{array}}$

donde ${\displaystyle R}$ es el trayecto entre el centro del conducto y el centro del toro, ${\displaystyle r}$ es el radio del conducto, ambas constantes con  y donde ${\displaystyle \theta ,\phi \in [0,2\pi )}$ son ángulos que determinan el círculo completo.

La ecuación en coordenadas cartesianas de un toro cuyo eje es el eje z es:

${\displaystyle {\left(R-\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2+z^2=r^2}$

La superficie A y el volumen V del toro pueden hallarse empleando el teorema de Papus de Alejandría. Los resultados son:

${\displaystyle A=4{\pi }^{2}Rr}$

${\displaystyle V=2{\pi }^{2}R{r}^2}$, donde ${\displaystyle R}$ es la distancia del eje de revolución al centro de una sección circular del toro y ${\displaystyle r}$ es el radio de dicha sección.

${\displaystyle A={\pi }^{2}Dd}$

${\displaystyle V=\frac{1}{4}{\pi }^{2}D{d}^2}$ usando los respectivos diámetros :${\displaystyle D=2R,d=2r}$

Topología

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Un toro es el resultado del producto cartesiano de dos circunferencias, ${\displaystyle S^1\times S^1}$.

Topológicamente, un toro es una superficie cerrada definida como el producto cartesiano de dos circunferencias: ${\displaystyle S^1\times S^1}$ y con la topología producto. Equivalentemente, un toro es una superficie cerrada orientable de género 1. Esta equivalencia se obtiene gracias al teorema de clasificación de superficies cerradas.

En topología, un «volumen tórico» o «toro sólido» (vollringe) es un objeto tridimensional obtenido mediante el producto cartesiano de un disco y una circunferencia: ${\displaystyle D^2\times S^1}$

La superficie descrita, dada la topología relativa de R³, es homeomorfa con el toro topológico mientras este no intercepte con su propio eje.

El toro puede también describirse como el cociente del ’’plano euclidiano’’ bajo las tipificaciones

(x, y) ~ (x+1,y) ~ (x, y+1)

Equivalentemente, como el cociente del cuadrado o unidad conectando los bordes opuestos, descrito como un polígono fundamental ${\displaystyle AB{A}^{-1}{B}^{-1}}$.

Esta superficie se considera como el espacio total de un fibrado (trivial), donde el espacio base es la circunferencia ${\displaystyle S^1}$.

El grupo fundamental del toro es precisamente el producto directo del grupo fundamental de la circunferencia por sí misma:

${\displaystyle {\pi }_1({\mathbb{T}}^2)={\pi }_1(S^1)\times {\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}}$

Intuitivamente, esto significa que un camino cerrado el cual rodea entre ambos, el «orificio» y el «cuerpo» del toro (ambos de circunferencia con latitud concreta), se puede transformar en un camino que envuelva el cuerpo y el orificio. Es decir, los caminos estrictamente meridionales y estrictamente longitudinales participan en operaciones conmutativas.

El primer grupo homológico del toro es isomorfo al grupo fundamental; puesto que el grupo fundamental es abeliano.

Toro plano

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En tres dimensiones, se puede doblar un rectángulo hasta formar un toro, pero al hacerlo normalmente se estira la superficie, como se ve por la distorsión del patrón de cuadros

Visto en proyección estereográfica, un toro plano en 4D se puede proyectar en 3 dimensiones y girar sobre un eje fijo

El mosaico más simple de un toro plano es {4,4}_1,0, construido sobre la superficie de un duocilindro con 1 vértice, 2 aristas ortogonales y una cara cuadrada. Se ve aquí proyectado estereográficamente en el espacio tridimensional como un toroide

Un toro plano es un toro con la métrica heredada de su representación como cociente, ${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$/L, donde L es un subgrupo discreto de ${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$ isomorfo a ${\displaystyle {\mathbb{Z}}^2}$. Esto le da al cociente la estructura de una variedad de Riemann. Quizás el ejemplo más simple de esto sea cuando L= ${\displaystyle {\mathbb{Z}}^2}$: ${\displaystyle {\mathbb{R}}^2/{\mathbb{Z}}^2}$, que también puede describirse como un sistema de coordenadas cartesianas bajo las identificaciones (x, y) ~ (x + 1, y) ~ (x, y + 1). Este toro plano en particular (y cualquier versión del mismo con escala uniforme) se conoce como toro plano "cuadrado".

Esta métrica del toro cuadrado plano también se puede realizar mediante incrustaciones específicas del familiar 2-toro en espacios euclídeos de 4 o más dimensiones. Su superficie tiene curvatura de Gauss cero en todas partes. Su superficie es plana en el mismo sentido que la superficie de un cilindro es plana. En 3 dimensiones, se puede doblar una hoja plana de papel hasta formar un cilindro sin estirar el papel, pero este cilindro no se puede doblar hasta formar un toro sin estirar el papel (a menos que se abandonen algunas condiciones de regularidad y diferenciabilidad, véase más abajo).

Un embebido euclídeo simple de 4 dimensiones de un toro plano rectangular (más general que el cuadrado) es el siguiente:

${\displaystyle (x,y,z,w)=(R\cos u,R\sin u,P\cos v,P\sin v)}$

donde R y P son constantes positivas que determinan la relación de aspecto. Es difeomórfico para un toro normal, pero no isométrico. No se puede incrustar analíticamente (mediante una función suave de clase C^k, 2 ≤ k ≤ ∞) en el espacio tridimensional euclidiano. Una aplicación en el espacio tridimensional requiere que la figura se estire, en cuyo caso se parece a un toroide normal. Por ejemplo, en la siguiente aplicación:

${\displaystyle (x,y,z)=((R+P\sin v)\cos u,(R+P\sin v)\sin u,P\cos v)}$