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Número complejo

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Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de abscisa y los imaginarios en el eje ordenada.

Los números complejos, designados con la notación (${\displaystyle \mathbb{C}}$), son una extensión de los números reales (${\displaystyle \mathbb{R}}$) y forman un cuerpo algebraicamente cerrado.¹​ Entre ambos conjuntos de números se cumple que ${\displaystyle \mathbb{R}\subset \mathbb{C}}$, es decir: ${\displaystyle \mathbb{R}}$ está estrictamente contenido en ${\displaystyle \mathbb{C}}$. Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra ${\displaystyle i}$, o en forma polar).

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la eléctrica, electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros.

Historia

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La fórmula general de la solución de las raíces (sin utilizar funciones trigonométricas) de una ecuación de tercer grado contiene las raíces cuadradas de un número negativo cuando las tres raíces son números reales, una situación que no puede rectificarse factorizando con la ayuda de teorema de la raíz racional si el polinomio cúbico es irreducible (el llamado casus irreducibilis). Este enigma llevó al matemático italiano Gerolamo Cardano a concebir los números complejos alrededor de 1545,²​ aunque su comprensión era rudimentaria.

El trabajo sobre el problema de los polinomios generales finalmente condujo al teorema fundamental del álgebra, que muestra que en el dominio de los números complejos, existe una solución para cada ecuación polinomio de grado uno o superior. Los números complejos forman un cuerpo algebraicamente cerrado, donde cualquier ecuación polinómica tiene una raíz.

Numerosos matemáticos contribuyeron al desarrollo de los números complejos. Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli,³​ y fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton quien desarrolló un formalismo más abstracto para los números complejos, extendiendo esta abstracción a la teoría de los cuaterniones.

Quizás se pueda decir que la referencia fugaz más temprana a raíz cuadrada de número negativo aparece en el trabajo del matemático griego del siglo I Herón de Alejandría. En su Stereometrica considera, aparentemente por error, el volumen de un tronco de pirámide con una solución imposible, llegando al término ${\displaystyle \sqrt{81-144}=3i\sqrt{7}}$ en sus cálculos, aunque no se concebían cantidades negativas en la matemática helénica y Herón simplemente lo reemplazó por el mismo valor positivo (${\displaystyle \sqrt{144-81}=3\sqrt{7}}$).⁴​

El interés por estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI, cuando los matemáticos italianos descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de los polinomios cúbicos y cuárticos (véase Niccolò Fontana Tartaglia y Gerolamo Cardano). Pronto se dieron cuenta de que estas fórmulas, incluso si solo se estaba interesado en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos. Como por ejemplo, en la fórmula de Tartaglia para una ecuación cúbica de la forma ${\displaystyle x^3=px+q}$^{nota 1}​ da la solución a la ecuación ${\displaystyle x^3=x}$ en la forma:

${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\left({\left(\sqrt{-1}\right)}^{1/3}+{\left(\sqrt{-1}\right)}^{-1/3}\right).}$

A priori, esto parece un sin sentido. Sin embargo, los cálculos formales con números complejos muestran que la ecuación ${\displaystyle z^3=i}$ tiene soluciones ${\displaystyle -i}$, ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}$ y ${\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i}$. Sustituyendo estos a su vez por ${\displaystyle {\sqrt{-1}}^{1/3}}$ en la fórmula cúbica de Tartaglia y simplificando, se obtienen ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ y ${\displaystyle -1}$ como las soluciones de ${\displaystyle x^3-x=0}$. Por supuesto, esta ecuación en particular se puede resolver a simple vista, pero ilustra que cuando se usan fórmulas generales para resolver ecuaciones cúbicas con raíces reales, entonces, como demostraron rigurosamente los matemáticos posteriores, el uso de números complejos es inevitable. Rafael Bombelli fue el primero en abordar explícitamente estas soluciones aparentemente paradójicas de las ecuaciones cúbicas, y desarrolló las reglas para la aritmética compleja que intenta resolver estos problemas.

El término "imaginario" para estas cantidades fue acuñado por René Descartes en 1637, esforzándose precisamente por enfatizar su naturaleza imaginaria⁵​

[...] a veces solo imaginario, es decir, uno puede imaginar tantos como ya se dijo en cada ecuación, pero a veces no existe una cantidad que coincida con lo que imaginamos. ([...] quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.)

Otra fuente de confusión fue que la ecuación ${\displaystyle {\sqrt{-1}}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1}$ parecía ser caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica ${\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}}$, que es válida para números reales no negativos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$, y que también se usó en cálculos de números complejos con alguno de ${\displaystyle a}$ o ${\displaystyle b}$ positivo y el otro negativo. El uso incorrecto de esta identidad (y la identidad relacionada ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}}$) en el caso de que ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ sean negativos, preocupó incluso a Euler. Esta dificultad finalmente llevó a la convención de usar el símbolo especial (${\displaystyle i}$) en lugar de ${\displaystyle \sqrt{-1}}$ para protegerse contra este error. Aun así, Euler consideró natural presentar a los estudiantes números complejos mucho antes de lo que se hace hoy en día. En su libro de texto de álgebra elemental, Elementos de Álgebra, introducía estos números casi de inmediato y luego los usaba de forma natural.

En el siglo XVIII, los números complejos obtuvieron un uso más amplio, ya que se notó que la manipulación formal de expresiones complejas podría usarse para simplificar los cálculos que implican funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730, Abraham de Moivre observó que las complicadas identidades que relacionan las funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con las potencias de las funciones trigonométricas de ese ángulo podrían simplemente reexpresarse mediante la siguiente conocida fórmula que lleva su nombre, la fórmula de De Moivre:

${\displaystyle (\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta {)}^n=\cos n\theta +i\mathrm{sen}n\theta .}$

En 1748 Leonhard Euler fue más allá y obtuvo Fórmula de Euler de análisis complejo:

${\displaystyle \cos \theta +i\mathrm{sen}\theta =e^{i\theta }}$

manipulando formalmente series de potencias complejas, y observó que esta fórmula podría usarse para reducir cualquier identidad trigonométrica a identidades exponenciales mucho más simples.

La idea de un número complejo como un punto en el plano complejo, fue descrita por primera vez por Caspar Wessel en 1799, aunque se había anticipado ya en 1685 en la obra "De Algebra tractatus" de John Wallis.

Las Memorias de Wessel aparecieron en las Actas de la Real Academia de Bellas Artes de Dinamarca, pero pasaron desapercibidas. En 1806, Jean-Robert Argand emitió independientemente un cuadernillo sobre números complejos y proporcionó una demostración rigurosa del teorema fundamental del álgebra. Carl Friedrich Gauss había publicado anteriormente una prueba esencialmente topológica del teorema en 1797, pero expresó sus dudas en ese momento sobre "la verdadera metafísica de la raíz cuadrada de −1". No fue sino hasta 1831 cuando superó estas dudas y publicó su tratado sobre números complejos como puntos en el plano, estableciendo en gran medida la notación y la terminología modernas. A principios del siglo XIX, otros matemáticos descubrieron independientemente la representación geométrica de los números complejos: Buée, Mourey, Warren, Français y su hermano, Bellavitis.⁶​

El matemático inglés Godfrey Harold Hardy comentó que Gauss fue el primer matemático en usar números complejos "de una manera realmente segura y científica", aunque matemáticos como Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jakob Jacobi los usaban necesariamente de forma rutinaria antes de que Gauss publicara su tratado de 1831.⁷​

“Si este tema ha sido considerado hasta ahora desde el punto de vista equivocado y, por lo tanto, envuelto en misterio y rodeado de oscuridad, es en gran parte debido a una terminología inadecuada que debe ser culpada. Si a +1, -1 y √−1, en lugar de ser llamados unidad positiva, negativa e imaginaria (o peor aún, imposible), se les hubieran dado los nombres de unidad directa, inversa y lateral, difícilmente se habría extendido tal oscuridad.” - Gauss⁸​

Augustin Louis Cauchy y Bernhard Riemann aportaron ideas fundamentales sobre el análisis complejo, elevándolo a un alto estado de terminación, comenzando alrededor de 1825 en el caso de Cauchy.

Los términos comunes utilizados en la teoría se deben principalmente a sus fundadores. Argand llamó "factor de dirección" a ${\displaystyle \cos \varphi +i\sin \varphi }$; y "módulo" a ${\displaystyle r=\sqrt{a^2+b^2}}$; Cauchy (1828) llamó a ${\displaystyle \cos \varphi +i\sin \varphi }$ la "forma reducida" (l'expression réduite) y aparentemente introdujo el término "argumento"; Gauss usó ${\displaystyle i}$ para ${\displaystyle \sqrt{-1}}$, introdujo el término "número complejo" para ${\displaystyle a+bi}$ y llamó a ${\displaystyle a^2+b^2}$ la "norma". La expresión "coeficiente de dirección", utilizada a menudo para ${\displaystyle \cos \theta +i\mathrm{sen}\theta }$; se debe a Hankel (1867), y "valor absoluto para módulo" se debe a Weierstrass.

Entre los escritores clásicos sobre la teoría general posteriores, se incluyen Richard Dedekind, Otto Hölder, Felix Klein, Henri Poincaré, Hermann Amandus Schwarz, Karl Weierstrass y muchos otros.

Los números complejos ligados a las funciones analíticas o de variable compleja, han permitido extender el concepto del cálculo al plano complejo. El cálculo de variable compleja posee diversas propiedades notables que conllevan propiedades que pueden usarse para obtener diversos resultados útiles en matemática aplicada.⁹​

Definición

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Se define cada número complejo como un par ordenado de números reales: ${\displaystyle z=(a,b)}$. Donde el primer elemento ${\displaystyle a}$ (de abscisa) se le denomina como parte real del complejo (en este caso: parte real del complejo ${\displaystyle z}$) y se denota ${\displaystyle a=\text{Re}(z)}$; el segundo elemento ${\displaystyle b}$ (de ordenada) se le denomina como parte imaginaria del complejo (en este caso: parte imaginaria del complejo ${\displaystyle z}$) y se denota ${\displaystyle b=\text{Im}(z)}$. Donde el par ordenado ${\displaystyle (a,b)}$ se grafica en un plano complejo. Luego en el conjunto de los números complejos, se definen varias operaciones y la relación de igualdad:

• Igualdad

${\displaystyle (a,b)=(c,d)⟺a=c\wedge b=d}$

Al par ordenado ${\displaystyle (a,0)}$ se le denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al par ordenado ${\displaystyle (0,b)}$ se denomina número imaginario puro. Puesto que: ${\displaystyle (a,0)+(0,b)=(a,b)}$. Por tanto, un número complejo es la suma de un número complejo real con un número imaginario puro.¹⁰​

Operaciones racionales

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• Adición:

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$

• Producto por escalar:

${\displaystyle r(a,b)=(ra,rb)}$

• Producto:

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$

• Resta:

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)}$

• División:

${\displaystyle \frac{(a,b)}{(c,d)}=\frac{(ac+bd,bc-ad)}{c^2+d^2}=\left(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)}$

Unidad imaginaria

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En el álgebra, el número ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle j}$ en ingeniería), llamado unidad imaginaria; es definido como:

${\displaystyle i=(0,1)}$

Tomando en cuenta que el producto de dos números imaginarios puros, será un número complejo real:

${\displaystyle (0,a)\cdot (0,b)=(0-ab,0+0)=(-ab,0)=-ab}$

Y el producto de dos números complejos reales, será otro número complejo real:

${\displaystyle (a,0)\cdot (x,0)=(ax-0,0+0)=(ax,0)=ax}$

Entonces, se define que ${\displaystyle i^2=-1}$:

${\displaystyle i^2=i\cdot i=(0,1)\cdot (0,1)=(0-1,0+0)=(-1,0)=-1}$

Afijo

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El afijo de un número complejo es el punto que se le hace corresponder en el plano complejo. Así, el afijo del número complejo ${\displaystyle z_1=(a,b)}$ es el punto ${\displaystyle P(a,b)}$.

Valor absoluto, argumento y conjugado

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Valor absoluto o módulo de un número complejo

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La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo ${\displaystyle z}$ viene dado por la siguiente expresión:

${\displaystyle |z|=\sqrt{z\cdot z^{\ast }}}$

Que es equivalente a:

${\displaystyle {\left|z\right|}^2=z\cdot z^{\ast }}$

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo ${\displaystyle z}$ como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.

Si el complejo está escrito en forma exponencial ${\displaystyle z=r\cdot e^{i\cdot \varphi }}$, entonces ${\displaystyle |z|=r}$. Se puede expresar en forma trigonométrica como ${\displaystyle z=r(cos(\varphi )+i\cdot sen(\varphi ))}$, donde ${\displaystyle cos(\varphi )+i\cdot sen(\varphi )=e^{i\cdot \varphi }}$ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto:

${\displaystyle \left|z\right|=0⟺z=0}$

${\displaystyle \left|z+w\right|\le |z|+|w|}$

${\displaystyle \left|zw\right|=|z||w|}$

${\displaystyle \left|z-w\right|\ge ||z|-|w||}$

para cualquier complejo ${\displaystyle z}$ y ${\displaystyle w}$.

Por definición, la función distancia queda como sigue ${\displaystyle d(z,w)=|z-w|}$ y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Argumento o fase

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Artículo principal: Argumento (análisis complejo)

El argumento principal o fase de un número complejo genérico ${\displaystyle z=x+yi}$, donde ${\displaystyle x=Re(z)}$ y ${\displaystyle y=Im(z)}$, es el ángulo ${\displaystyle \varphi }$ que forman el eje de abscisas ${\displaystyle OX}$ y el vector ${\displaystyle OM}$, con ${\displaystyle M(x,y)}$. Viene dado por la siguiente expresión:

${\displaystyle \varphi =\mathrm{Arg}(z)=\mathrm{atan2}(y,x)}$

donde ${\displaystyle atan2(y,x)}$ es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:

O también: ${\displaystyle \mathrm{atan2}(y,x)=\frac{\pi }{2}\mathrm{sgn}(y)-\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{R}}$ Siendo:

¹¹​

la función signo.

El argumento tiene periodicidad ${\displaystyle 2\pi }$, con lo que ${\displaystyle \arg z=\arg z+2k\pi }$ siendo ${\displaystyle k}$ cualquier número entero. El ángulo ${\displaystyle \arg z}$ es el valor principal de ${\displaystyle \arg z}$ que verifica las condiciones  descritas antes.¹²​

Conjugado de un número complejo

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Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en el signo del segundo término. De esta manera, el conjugado de un complejo ${\displaystyle z}$ (denotado como ${\displaystyle \overline{z}}$ o ${\displaystyle z^{\ast }}$) es un nuevo número complejo, definido así:

${\displaystyle \overline{z}=a-b\mathrm{i}⟺z=a+b\mathrm{i}}$

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria. Con este número se cumplen las propiedades:

${\displaystyle \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}}$

${\displaystyle z+\overline{z}=2\cdot \text{Re}(z)}$

${\displaystyle z-\overline{z}=2i\cdot \text{Im}(z)}$

${\displaystyle \overline{zw}=\overline{z}\overline{w}}$

${\displaystyle z\in \mathbb{R}⟺\overline{z}=z}$

${\displaystyle |z{|}^2=z\overline{z}\ge 0}$

${\displaystyle z\ne 0\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}}$

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representaciones

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Representación binómica

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Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; ${\displaystyle a+bi}$ es la expresión binomial del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:

${\displaystyle z=a+bi}$

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

${\displaystyle a=\text{Re}(z)=\mathrm{\Re }(z)}$

${\displaystyle b=\text{Im}(z)=\mathrm{\Im }(z)}$

Representación polar

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El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; ${\displaystyle r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$ o ${\displaystyle r{e}^{i\varphi }}$ es la expresión polar del punto.

En esta representación, ${\displaystyle r}$ es el módulo del número complejo y el ángulo ${\displaystyle \varphi }$ es el argumento del númer